方程式と不等式
数式の計算
単項式と多項式
数と文字のかけ算だけから作られた式を単項式と呼ぶ。2つ以上の単項式を足し合わせて作られた式を多項式と呼ぶ。 多項式を作るそれぞれの単項式を項と呼ぶ。
多項式の項を次数の大きいものから並べて書くことを降べきの順に整理するといい, 次数の小さいものから並べて書くことを昇べきの順に整理するという。 通常は降べきの順に整理する。
分配法則
\( a(b + c) = ab + ac \)
\( (b + c)a = ba + ca \)
指数法則
\(m,\;n\) を正の整数とする。このとき次の指数法則が成り立つ。
\(a^m a^n = a^{m+n}\)
\({(a^m)}^n = a^{mn}\)
\((ab)^n = a^n b^n\)
展開の公式
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
\( (x + a)(x = b) = x^2 + (a + b)x + ab \)
\( (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd \)
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3,\) \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)
\( (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3,\) \( (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \)
因数分解
因数分解の公式
\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, \) \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \)
\( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
\( x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) \)
\( acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d) \)
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2),\) \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
\( a^3 + 3a^2 b + 3 ab^2 + b^3 = (a + b)^3, \) \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 \)
実数と平方根の計算
平方根
\( x^2 = a \) となる \( x \) を \( a \) の平方根という。
平方根の公式
\( \sqrt{a^2} = |a|,\) すなわち \(a \geq 0 \) のとき \( \sqrt{a^2} = a,\) \( a<0 \) のとき \(\sqrt{a^2} = -a \)
\( a>0, b>0 \) のとき \[ \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \qquad \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} \]
2重根号
\( a > 0, \; b > 0 \) のとき \( \sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)
\( a > b > 0 \) のときは,同様の計算によって \( \sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \)
2次方程式
2次方程式の解の公式
\( a \neq 0 \) とする。2次方程式 \( ax^2 + bx + c = 0 \) の解は
\[
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
で与えられる。
1次不等式
不等式の性質
不等式の性質 1.
不等式の性質 2.
不等式の性質 3.