Reiwa Independent Laboratory of Mathematical Sciences

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====== 方程式と不等式======

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  * [[.:hmath i 02]]
  * [[.:hmath i 03]]

==== 数式の計算 ====
=== 単項式と多項式 ===

数と文字のかけ算だけから作られた式を**単項式**と呼ぶ。2つ以上の単項式を足し合わせて作られた式を**多項式**と呼ぶ。 多項式を作るそれぞれの単項式を項と呼ぶ。

  * \(3x^2\) は単項式
  * \(2x - 1\) は多項式（項は \(2x\) と \(-1\) ）

多項式の項を次数の大きいものから並べて書くことを**降べき**の順に整理するといい， 次数の小さいものから並べて書くことを**昇べき**の順に整理するという。 通常は降べきの順に整理する。

  * \(x^3 + 3x^2 + 1\) -> 降べきの順
  * \(1 + 3x + 3x^2 + x^3\) -> 昇べきの順

=== 分配法則 ===

  * \( a(b + c) = ab + ac \)
  * \( (b + c)a = ba + ca \)

=== 指数法則 ===
\(m,\;n\) を正の整数とする。このとき次の**指数法則**が成り立つ。
  - \(a^m a^n = a^{m+n}\)
  - \({(a^m)}^n = a^{mn}\)
  - \((ab)^n = a^n b^n\)

=== 展開の公式 ===

  - \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
  - \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
  - \( (x + a)(x  = b) = x^2 + (a + b)x + ab \)
  - \( (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd \)
  - \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3,\) \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)
  - \( (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3,\) \( (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \)



==== 因数分解 ====
=== 因数分解の公式 ===

  - \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, \)  \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \)
  - \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
  - \( x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) \)
  - \( acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d) \)
  - \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2),\) \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
  - \( a^3 + 3a^2 b + 3 ab^2 + b^3 = (a + b)^3, \) \( a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 \)


==== 実数と平方根の計算 ====
=== 平方根 ===

\( x^2 = a \) となる \( x \) を \( a \) の平方根という。

  * \( a > 0 \) のとき， \( a \) の平方根は \( \pm \sqrt{a} \)
  * \( a = 0 \) のとき， \( a \) の平方根は \( 0 \) 

  * \( 9 \) の平方根は \( \pm 3 \)
  * \( 16 \) の平方根は \( \pm 4 \)

=== 平方根の公式 ===
  - \( \sqrt{a^2} = |a|,\) すなわち \(a \geq 0 \) のとき \( \sqrt{a^2} = a,\) \( a<0 \) のとき \(\sqrt{a^2} = -a \)
  - \( a>0, b>0 \) のとき \[ \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \qquad \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} \]

=== 2重根号 ===
  - \( a > 0, \; b > 0 \) のとき \( \sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)
  - \( a > b > 0 \) のときは，同様の計算によって \( \sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \)

==== 2次方程式 ====
=== 2次方程式の解の公式 ===

\( a \neq 0 \) とする。2次方程式 \( ax^2 + bx + c = 0 \)  の解は
\[
      x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
で与えられる。
==== 1次不等式 ====
=== 不等式の性質 ===

  * 不等式の性質 1.
    * \( a < b \) ならば \( a + c < b + c, \) \( a - c < b - c \)
  * 不等式の性質 2.
    * \( a < b \) でさらに \( c > 0 \) ならば \( ac < bc,\) \( \dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c} \)
  * 不等式の性質 3.
    * \( a < b \) でさらに \( c < 0 \) ならば \( ac > bc, \) \( \dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c} \)
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